मान लीजिए कि y = y(x) अवकल समीकरण (x^2 + 1)^2 | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2 + 1)^2 \frac{dy}{dx} + 2x(x^2 + 1)y = 1$ है।$(x^2 + 1)^2$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{x^2 + 1} y = \

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(C) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2 + 1)^2 \frac{dy}{dx} + 2x(x^2 + 1)y = 1$ है।$(x^2 + 1)^2$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{x^2 + 1} y = \frac{1}{(x^2 + 1)^2}$ प्राप्त होता है।यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$ और $Q(x) = \frac{1}{(x^2 + 1)^2}$ है।समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2x}{x^2 + 1} dx} = e^{\ln(x^2 + 1)} = x^2 + 1$ है।सामान्य हल $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ है।$y(x^2 + 1) = \int \frac{1}{(x^2 + 1)^2} \cdot (x^2 + 1) dx + C = \int \frac{1}{x^2 + 1} dx + C$.$y(x^2 + 1) = 	an^{-1}(x) + C$.चूँकि $y(0) = 0$ दिया गया है,इसलिए $0(0^2 + 1) = 	an^{-1}(0) + C$,जिसका अर्थ है कि $C = 0$ है।अतः,$y(x) = \frac{	an^{-1}(x)}{x^2 + 1}$ है।हमें $\sqrt{a} y(1) = \frac{\pi}{32}$ दिया गया है।$y(1) = \frac{	an^{-1}(1)}{1^2 + 1} = \frac{\pi/4}{2} = \frac{\pi}{8}$ है।इस मान को समीकरण में रखने पर: $\sqrt{a} \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{32}$ प्राप्त होता है।$\sqrt{a} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$ है।इसलिए,$a = (1/4)^2 = 1/16$ है।

मान लीजिए कि $y = y(x)$ अवकल समीकरण $(x^2 + 1)^2 \frac{dy}{dx} + 2x(x^2 + 1)y = 1$ का हल है,जहाँ $y(0) = 0$ है। यदि $\sqrt{a} y(1) = \frac{\pi}{32}$ है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

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